沖孔板復合網(wǎng)關(guān)鍵詞:三角形沖孔網(wǎng) 標題:初中幾何：沖孔板復合網(wǎng)三角形三條高交于同一點(diǎn)的證明及其思路 來(lái)源:知乎 文章內容: 通過(guò)研究三角形三條高交于一點(diǎn)，理解一些思路，方法有助于解決中考壓軸證明題。 三角形三條高交于同一點(diǎn)： 思路： 1， 假設有三條高 — 三條從頂點(diǎn)垂直于對邊的直線(xiàn)。那么我要證明其交于同一點(diǎn)。 a) 證明交于一點(diǎn)—也就是證明兩條高的交點(diǎn)在第三條高上。 b) 反證法：如果不是交于一點(diǎn)，那么就會(huì )有三個(gè)不同交點(diǎn) — 證明三個(gè)點(diǎn)之間的距離為0，就能推出三條高交于一點(diǎn)。 2， 此命題等價(jià)于：有兩條高的交點(diǎn)，連接頂點(diǎn)和和兩條高交點(diǎn)的直線(xiàn)交第三邊的線(xiàn)段為高 — 要證明此直線(xiàn)和對應邊垂直。 3， 假如有比較方便的，已經(jīng)證明的結論，通過(guò)圖形轉化，轉為證明一個(gè)容易的已知的命題。 幾種主要方法： 1， 純幾何方法：證明三條高交于同一點(diǎn)，反證法，完全依靠相似證明，通過(guò)線(xiàn)段比值，證明三個(gè)交點(diǎn)距離為0，其實(shí)是同一點(diǎn)。 2， 純幾何方法：證明兩條高的交點(diǎn)和頂點(diǎn)的連線(xiàn)垂直于第三邊沖孔板復合網(wǎng)。借助四點(diǎn)共圓—是有兩個(gè)RT三角形的四點(diǎn)共圓，那么此圓的圓心位置在斜邊的中點(diǎn)，在輔助圓里面其圓周角相等。 3， 建坐標系：證明三條高交于同一點(diǎn)，以一條底邊為X軸，此邊上的高為Y軸，證明另外兩個(gè)頂點(diǎn)的高的交點(diǎn)在Y軸上。 4， 向量：證明兩條高的交點(diǎn)和頂點(diǎn)的連線(xiàn)垂直于第三邊。通過(guò)向量的垂直 – 內積（點(diǎn)乘）為0，證明頂點(diǎn)到高交點(diǎn)的向量垂直于頂點(diǎn)對應邊的向量。 5， 等價(jià)代換：替換成證明中垂線(xiàn)交于一點(diǎn)。--如何做一個(gè)三角形的中垂線(xiàn)的交點(diǎn)正好是原三角形的高的交點(diǎn)，證明三角形三條中垂線(xiàn)交于一點(diǎn)。 一，直接相似證明， 反證法。 如同ΔABC里面，AD，BE，CF分別是對應A，B，C三個(gè)頂點(diǎn)與其對邊上的高。 沖孔板復合網(wǎng)我假設其交于三個(gè)點(diǎn)G，H，I（由于實(shí)際中如果AD，BE，CF分別垂直BC，AC，AB，那么交點(diǎn)為同一個(gè)，這里實(shí)際上CF不是垂直于A(yíng)B的） 則我們可以得到很多個(gè)相似圖形： - 公用頂角∠ACB ，得到 ΔCBE相似于ΔCAD - 公用頂角∠FCB ，得到ΔCGD相似于ΔCBF - 公用頂角∠FCA， 得到 ΔCIE相似于ΔCAF - 其他相似在此不贅述 如同開(kāi)始所說(shuō)，我希望證明的是三個(gè)點(diǎn)重合 等價(jià)于GH，HI，GI都等于0 等價(jià)于FI=FG或者CI-CG，BH=BI或者EH=EI，AG=AH或者GD=DH 我們知道如果ΔABC相似于ΔEFG。那么有對應邊成比例 AB/EF=BC/FG 等價(jià)于A(yíng)B*FG=BC*EF 回到剛才列出的三對相似三角形?？梢韵氲剑?- CD*BC=CE*AC（ΔCBE相似于ΔCAD） - CG*CF=CD*BC（ΔCGD相似于ΔCBF） - CI*CF=CE*AC （ΔCIE相似于ΔCAF） 那么可以得到CI*CF=CG*CF，CI=CG，則I點(diǎn)和G點(diǎn)重合。 同理可得，I和H重合，G和H重合。 三條高交于同一直線(xiàn)得證。 講道理，這種方法雖然要求的知識點(diǎn)很少，但實(shí)際操作下來(lái)難度是**高的，里面有很多三角形相似，很容易看花眼，而通過(guò)某個(gè)頂角引出的三對三角形相似，繼而通過(guò)恒等式代換得到兩線(xiàn)段長(cháng)度一樣難度是蠻大的。 二，四點(diǎn)共圓，正面證明，先做兩條高，再連接頂點(diǎn)和交點(diǎn)—要證明此直線(xiàn)和對應邊垂直。 如同ΔABC里面，AD，BE分別是對應A，B兩個(gè)頂點(diǎn)與其對邊上的高。 連接CH，交AB直線(xiàn)于F點(diǎn)。需要證明CF垂直于A(yíng)B。 如此作圖，只能得到ΔAHE相似于ΔACD，ΔBHD相似于BCE。 同時(shí)這兩對相似似乎沒(méi)什么用。 而CF垂直于A(yíng)B，等價(jià)于ΔAFC或者BFC以AFC或者BFC為直角的直角三角形。 也就等價(jià)于ΔBFC相似于ΔBDA。 需要證明∠BAD等于∠FCB （通過(guò)證明∠ABE等于∠FCA也是一樣，不重復了） 與此同時(shí)，我們可以觀(guān)察到有兩對直角三角形公用斜邊。 RTΔAEB和RTΔADB共用AB斜邊。-- 可以做圓G以AB中點(diǎn)G為圓心，1/2AB為半徑做圓。 RTΔCHE和RTΔCHD共用斜邊HC。--可以做圓I以CH中點(diǎn)I為圓心，1/2HC為半徑做圓。 則圓G中：弧BD所對的圓周角∠BAH=∠BED 圓I中：弧HD所對圓周角∠HED=∠HCD 則∠BAD=∠FCB 因為∠ABD=∠FBC ΔBAD相似于ΔBCF ∠CFB=∠ADB=90° 命題得證 此方法的主要難點(diǎn)在于找到兩對共用斜邊的直角三角形。四點(diǎn)共圓，而且圓心在斜邊中點(diǎn)上。 三，建坐標系，證明交于一點(diǎn)—也就是證明兩條高的交點(diǎn)在第三條高上 以AC為x軸，AC邊上高為y軸。 通過(guò)求出直線(xiàn)AD和CF的交點(diǎn)位置（在y軸上） 具體：建坐標系 以AC為x軸，AC邊上高為y軸。 通過(guò)求出直線(xiàn)AD和CF的交點(diǎn)位置，證明其在y軸上 設三個(gè)點(diǎn)：A(-a,0）B(0,b) C(0,c) AD是過(guò)A點(diǎn)，和BC垂直。 CF是過(guò)C點(diǎn)沖孔板復合網(wǎng)，和AB垂直。 AD和CF相交于G點(diǎn)。 那么命題就轉化成求AD和CF直線(xiàn)的交點(diǎn)在Y軸上了。 根據直線(xiàn)相互垂直斜率乘積等于-1 則直線(xiàn)AD： 直線(xiàn)CF： 式1和式2相等的解對應坐標值，既為交點(diǎn)。 顯然因為b不為0，且c不等于-a。 （如果c=-a，A點(diǎn)和C點(diǎn)重合，三角形不成立） 兩直線(xiàn)的交點(diǎn)在x=0的時(shí)候，在Y軸上。 此方法實(shí)際要求的難度是**小的，重點(diǎn)在于合理的建立直角坐標系。 PS：也可以嘗試證明一條高和Y軸交點(diǎn)，此交點(diǎn)和另一個(gè)頂點(diǎn)的連線(xiàn)垂直于對應斜邊。步驟略煩。 四， 向量法：證明兩條高的交點(diǎn)和頂點(diǎn)的連線(xiàn)垂直于第三邊。通過(guò)向量的垂直 – 內積（點(diǎn)乘）為0，證明頂點(diǎn)到高交點(diǎn)的向量垂直于頂點(diǎn)對應邊的向量。 如圖所示，已知ΔABC，AF垂直BC，BE垂直AC。AF，BE相交于D點(diǎn)。需要證明CD垂直于A(yíng)B。 向量證明的一般套路為通過(guò)向量的加減，將一個(gè)向量分成幾段相互向量和，特別是幾段向量之間有確定的角度關(guān)系的。（因為向量?jì)确e有降次的含義，需要在同一方向的向量方便做內積） 而這里，**特殊的點(diǎn)就是D點(diǎn)，其他任意向量都可以有通過(guò)D點(diǎn)的幾個(gè)向量加減得到，題目等價(jià)于， 附加已知條件為： 其中 式1-式2= 式3得證，也就是垂直成立。 此方法關(guān)鍵在于把所有向量都用通過(guò)點(diǎn)D的向量和來(lái)表示。 五，等價(jià)轉化證明，替換成證明中垂線(xiàn)交于一點(diǎn)。--如何做一個(gè)三角形的中垂線(xiàn)的交點(diǎn)正好是原三角形的高的交點(diǎn)，證明三角形三條中垂線(xiàn)交于一點(diǎn)。 在中學(xué)平面幾何里面，我們學(xué)到過(guò)三角形有4個(gè)心。 a) 垂心，三角形三條高的交點(diǎn)。 b) 重心，三角形三條中線(xiàn)的交點(diǎn)。 c) 外心，三角形三條邊的中垂線(xiàn)的交點(diǎn)。也是三角形外接圓的圓心。 d) 內心，三角形三條角平分線(xiàn)的交點(diǎn)。也是三角形內切圓的圓心。 顯然，在這里面**接近于三條高交點(diǎn)的是外心。 （外心的證明較為簡(jiǎn)單，通過(guò)兩對直角三角形HL證明斜邊一樣長(cháng)，證明交點(diǎn)和另一邊中點(diǎn)的連線(xiàn)是垂直平分線(xiàn)。） 那么此問(wèn)題就有兩種思路： 通過(guò)將高的交點(diǎn)換成另一個(gè)三角形中垂線(xiàn)的交點(diǎn)。 2. 已知一個(gè)三角形及其中垂線(xiàn)，做出一個(gè)三角形，使得中垂線(xiàn)的交點(diǎn)正好是新三角形的高的交點(diǎn)。 （下面我以第二種為例） 如圖，已知三角形HIJ，CF，BE，AD分別是三條中垂線(xiàn)。已經(jīng)證明三條中垂線(xiàn)交于G點(diǎn)，G點(diǎn)為其外接圓圓心。 求證：以三條邊的中點(diǎn)ABC做三角形，CF，BE，AD為三角形ABC的三條高。 過(guò)程如下： 因為A點(diǎn)是JH中點(diǎn)，C點(diǎn)是JI中點(diǎn)，所以AC平行于HI。 又因為HI沖孔板復合網(wǎng)垂直BE。 所以BE垂直AC。也就是BE是AC邊上的高。 同理證明其他兩條高。 此方法，雖然步驟簡(jiǎn)單，但實(shí)話(huà)說(shuō)應試時(shí)候能想到還是比較困難的，比較適合的題目大概是探究類(lèi)，已知一種已經(jīng)證明的，通過(guò)變換證明另一種相關(guān)的。有一個(gè)臺階來(lái)過(guò)渡。沖孔板復合網(wǎng)